Transformada de Laplace | Propiedades y Ejercicios resueltos – Salamarkesa (2023)

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Recordar: Qué es la Transformada de Laplace y cuáles son sus aplicaciones.

Anexo: Tabla de Transformadas directas.

En este artículo vamos a ver un resumen de las propiedades de la Transformada de Laplace y una gran colección de ejemplos y ejercicios resueltos paso a paso.

Mini recordatorio:

La Transformada de Laplace es un operador (una función que devuelve otra función) que tiene una gran utilidad en el diseño de sistemas de control y en la resolución de ecuaciones diferenciales.

Por la definición de Transformada de Laplace, tenemos:

\[
\mathscr{L}\left[ f\left( t\right) \right] =\int ^{\infty }_{0}e^{-st}\cdot e^{at}dt=\int ^{\infty }_{0}e^{\left( -st+at\right) }dt=\lim _{b\rightarrow \infty }\int ^{b}_{0}e^{\left( -s+a\right) t}dt=\lim _{b\rightarrow \infty }\left[ \dfrac {e^{\left( -s+a\right) t}}{-s+a}\right] ^{b}_{o}
\]

Note usted que a partir de aquí $-s + a \neq 0$ dado que aparece en el denominador, y dividir por cero es imposible. Al quedar el caso $-s + a = 0$ descartado a partir de este momento, lo estudiaremos después de forma independiente.

Tenemos, entonces:

\[
=\lim _{b\rightarrow \infty }\left[ \dfrac {e^{\left( -s+a\right) b}}{-s+a}-\dfrac {1}{-s+a}\right] =\begin{cases}-s+a >0\rightarrow +\infty \rightarrow \left( diverge\right) \\
-s+a <0\rightarrow \dfrac {1}{s-a}\rightarrow \left( converge\right) \end{cases}
\]

Ahora estudiamos el caso para $-s + a = 0$, y tendríamos:

\[
\mathscr{L}\left[ e^{at}\right] =\lim _{b\rightarrow \infty }\int ^{b}_{0}e^{\left( -s+a\right) t}dt=\lim _{b\rightarrow \infty }\left[ b-0\right] =0\rightarrow \left( diverge\right)
\]

Es decir, la integral diverge, por lo que el caso $-s + a = 0$ no se contempla en la Transformada, que quedaría solo definida para los valores que hacen que la integral sea convergente.

\[
\begin{aligned}\mathscr{L}\left[ e^{at}\right] =\dfrac {1}{s-a}\\
s-a >0\end{aligned}
\]

Es así de sencillo, para un caso sencillo, pero se hace un poco más complejo para otras funciones.

De todas formas, gracias a las propiedades de la Transformada de Laplace, los casos que supuestamente deberían de ser difíciles (porque la integral que hay que resolver sea complicada) se hacen más amenos.

La transformada de Laplace posee numerosas propiedades, aquí vamos a detallar las más conocidas.

Producto por una constante

Podemos "sacar" la constante, puesto que la transformada es en realidad una integral.

$$L\left[ a\cdot f\left( t\right) \right] =a\cdot L\left[ f\left( t\right) \right]$$

Por ejemplo:

$$L\left[ 6\cdot \cos \left( \pi t\right) \right] =6\cdot L\left[ \cos \left( \pi t\right) \right]$$

Propiedad de linealidad

Podemos separar la transformada de la suma o resta de funciones, en la suma o resta de transformadas.

$$L\left[ f\left( t\right) \pm g\left( t\right) \right] =L\left[ f\left( t\right) \right] \pm L\left[ g\left( t\right) \right]$$

Por ejemplo:

$$L\left[ e^{t}+\cos \left( 2t\right) \right] =L\left[ e^{t}\right] +L\left[ \cos \left( 2t\right) \right]$$

Propiedad de traslación

$$L\left[ e^{at}\cdot f\left( t\right) \right] =F\left( s-a\right)$$

Siendo $F(s) = L[f(t)]$

Sería algo como...

_Oye, veo que tienes una función multiplicada por una exponencial. Te voy a hacer el favor de simplificar el asunto, así que voy a quitar la exponencial.

¿De verdad?

_Sí, y tú solo tienes que prometerme que a la función F(s) resultante vas a sustituirle la s por s - a

Ah perfecto, gracias!

Ejemplo:

$$f\left( t\right) =e^{3t}sen(t)$$

La transformada del seno es:

$$L\left[ sen\left( at\right) \right] =\dfrac {a}{s^{2}+a^{2}}$$

Para a = 1

\[
\begin{aligned}\cdot \\
L\left[ sen\left( t\right) \right] =\dfrac {1}{s^{2}+1}\end{aligned}
\]

Entonces:

$$L\left[ e^{3t}\cdot sen\left( t\right) \right] =F\left( s-3\right) =\dfrac {1}{\left( s-3\right) ^{2}+1}$$

Es decir, hacemos la transformada solo de f(t) sin la exponencial, y en el resultado obtenido F(s), sustituimos la variable independiente s por s - a

Se llama propiedad de traslación, porque lo que estamos haciendo es "trasladar" la transformada, al multiplicar por la exponencial.

Es decir, es la misma transformada, solo que desplazada según el valor de a en la exponencial.

Puedes recordarlo como: "Multiplicar una función por una exponencial e^at, hace que su transformada se desplace".

Transformada de derivadas

Si f(t) es continua en [0,∞) y de orden exponencial, y f'(t) es continua por tramos en [0,∞) se verifica:

$$L\left[ f'\cdot \left( t\right) \right] =S\cdot L\left[ f\left( t\right) \right] -f\left( 0\right)$$

Y lo mismo se verifica para las sucesivas derivadas.

Esta propiedad es muy útil, puesto que nos permite trabajar con la derivada de una función, sin necesidad de derivar dicha función.

¿Y dónde puede resultar especialmente útil esto?

Pues donde aparezcan funciones y sus derivadas.

Exacto, en las ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es una equivalencia entre dos expresiones en las que aparece una función incógnita y sus derivadas.

Pues, si aplicamos la Transformada de Laplace a ambos miembros de la igualdad, tendremos una ecuación de transformadas, de funciones que no están derivadas, de funciones "normalitas".

Y eso facilita mucho conseguir el valor de dicha función incógnita.

Está claro que luego la cosa no es tan fácil, porque una vez calculada esa función incógnita, hay que aplicar la transformada inversa si queremos saber qué expresión tiene la solución al problema original.

Puedes ver un ejemplo resuelto aquí: Cálculo de la solución de un PVI mediante Transformadas de Laplace.

Propiedad de Traslación en t

Igual que al multiplicar una función por una exponencial se "traslada" la transformada en la variable s, existe una propiedad de traslación para la variable t.

Para comprendela, se hace necesario entender qué es una función escalón unitario o función escalón de Heaviside.

Básicamente es una función para "encender" y "apagar" otras funciones a partir de un cierto valor en su variable independiente

Pero vamos a mirar bien cómo se define:

Es decir, es una función a trozos, que vale 0 hasta el valor de t = 0 y a partir de ahí vale 1.

Eso así de simple puede parecer una tontería, pero... si multiplicas el escalor unitario por cualquier f(t), la cosa va cobrando sentido:

Ahora, hemos cogido la función t², que está definida para todos los números reales, y la hemos "apagado" hasta el valor t = 0. A partir de ahí, la dejamos "encendida" hasta el infinito.

Y lo mejor, es que podemos hacer ese apagado/encendido para cualquier valor, simplemente habrá que "desplazar" la función restando o sumando un valor a la variable independiente.

Por ejemplo, para apagar la función hasta el valor t = 10, habría que multiplicarla por $u(t-10)$.

Al hacer eso, evaluamos la función de una forma desplazada.

Pues, a cualquier valor de t que le damos, le estamos restando 10 (o la cantidad que sea).

Y, volviendo con la propiedad de traslación en t, esta nos dice que:

$$L\left[ u\left( t-a\right) \cdot f\left( t\right) \right] =e^{-as}\cdot L\left[ f\left( t+a\right) \right]$$

Dicho en palabras: Si tenemos una función "apagada" y la "encendemos" a partir de un valor a, la transformada de esto es igual a la transformada de la función normal (sin estar apagada en ningún sitio) desplazada en a unidades multiplicada por el inverso de la exponencial e^as.

Y esto es equivalente a:

$$L\left[ u\left( t-a\right) \cdot f\left( t-a\right) \right] =e^{-as}\cdot L\left[ f\left( t\right) \right]$$

Bien.

Vamos a ver un ejemplo.

Siendo nuestra f(t) la siguiente:

Y ahora aplicamos la propiedad para calcular la transformada:

Si quieres otro ejemplo para que te quede más claro aún, puedes mirar aquí: ejemplo de transformada usando el escalón unitario.

[recursadora id="2"]

Empezaremos por un ejemplo resuelto muy básico para recordar que la definición de la transformada implica una integral impropia, y así de paso vemos cómo se calcula.

Por la definición de Transformada de Laplace, tenemos:

\[
\mathscr{L}\left[ f\left( t\right) \right] =\int ^{\infty }_{0}e^{-st}\cdot e^{at}dt=\int ^{\infty }_{0}e^{\left( -st+at\right) }dt=\lim _{b\rightarrow \infty }\int ^{b}_{0}e^{\left( -s+a\right) t}dt=\lim _{b\rightarrow \infty }\left[ \dfrac {e^{\left( -s+a\right) t}}{-s+a}\right] ^{b}_{o}
\]

Note usted que a partir de aquí $-s + a \neq 0$ dado que aparece en el denominador, y dividir por cero es imposible. Al quedar el caso $-s + a = 0$ descartado a partir de este momento, lo estudiaremos después de forma independiente.

Tenemos, entonces:

\[
=\lim _{b\rightarrow \infty }\left[ \dfrac {e^{\left( -s+a\right) b}}{-s+a}-\dfrac {1}{-s+a}\right] =\begin{cases}-s+a >0\rightarrow +\infty \rightarrow \left( diverge\right) \\
-s+a <0\rightarrow \dfrac {1}{s-a}\rightarrow \left( converge\right) \end{cases}
\]

Ahora estudiamos el caso para $-s + a = 0$, y tendríamos:

\[
\mathscr{L}\left[ e^{at}\right] =\lim _{b\rightarrow \infty }\int ^{b}_{0}e^{\left( -s+a\right) t}dt=\lim _{b\rightarrow \infty }\left[ b-0\right] =0\rightarrow \left( diverge\right)
\]

Es decir, la integral diverge, por lo que el caso $-s + a = 0$ no se contempla en la Transformada, que quedaría solo definida para los valores que hacen que la integral sea convergente.

\[
\begin{aligned}\mathscr{L}\left[ e^{at}\right] =\dfrac {1}{s-a}\\
s-a >0\end{aligned}
\]

Es así de sencillo, para un caso sencillo, pero se hace un poco más complejo para otras funciones.

De todas formas, gracias a las propiedades de la Transformada de Laplace, los casos que supuestamente deberían de ser difíciles (porque la integral que hay que resolver sea complicada) se hacen más amenos.

La transformada de Laplace posee numerosas propiedades, aquí vamos a detallar las más conocidas.

Producto por una constante

Podemos "sacar" la constante, puesto que la transformada es en realidad una integral.

$$L\left[ a\cdot f\left( t\right) \right] =a\cdot L\left[ f\left( t\right) \right]$$

Por ejemplo:

$$L\left[ 6\cdot \cos \left( \pi t\right) \right] =6\cdot L\left[ \cos \left( \pi t\right) \right]$$

Propiedad de linealidad

Podemos separar la transformada de la suma o resta de funciones, en la suma o resta de transformadas.

$$L\left[ f\left( t\right) \pm g\left( t\right) \right] =L\left[ f\left( t\right) \right] \pm L\left[ g\left( t\right) \right]$$

Por ejemplo:

$$L\left[ e^{t}+\cos \left( 2t\right) \right] =L\left[ e^{t}\right] +L\left[ \cos \left( 2t\right) \right]$$

Propiedad de traslación

$$L\left[ e^{at}\cdot f\left( t\right) \right] =F\left( s-a\right)$$

Siendo $F(s) = L[f(t)]$

Sería algo como...

_Oye, veo que tienes una función multiplicada por una exponencial. Te voy a hacer el favor de simplificar el asunto, así que voy a quitar la exponencial.

¿De verdad?

_Sí, y tú solo tienes que prometerme que a la función F(s) resultante vas a sustituirle la s por s - a

Ah perfecto, gracias!

Ejemplo:

$$f\left( t\right) =e^{3t}sen(t)$$

La transformada del seno es:

$$L\left[ sen\left( at\right) \right] =\dfrac {a}{s^{2}+a^{2}}$$

Para a = 1

\[
\begin{aligned}\cdot \\
L\left[ sen\left( t\right) \right] =\dfrac {1}{s^{2}+1}\end{aligned}
\]

Entonces:

$$L\left[ e^{3t}\cdot sen\left( t\right) \right] =F\left( s-3\right) =\dfrac {1}{\left( s-3\right) ^{2}+1}$$

Es decir, hacemos la transformada solo de f(t) sin la exponencial, y en el resultado obtenido F(s), sustituimos la variable independiente s por s - a

Se llama propiedad de traslación, porque lo que estamos haciendo es "trasladar" la transformada, al multiplicar por la exponencial.

Es decir, es la misma transformada, solo que desplazada según el valor de a en la exponencial.

Puedes recordarlo como: "Multiplicar una función por una exponencial e^at, hace que su transformada se desplace".

Transformada de derivadas

Si f(t) es continua en [0,∞) y de orden exponencial, y f'(t) es continua por tramos en [0,∞) se verifica:

$$L\left[ f'\cdot \left( t\right) \right] =S\cdot L\left[ f\left( t\right) \right] -f\left( 0\right)$$

Y lo mismo se verifica para las sucesivas derivadas.

Esta propiedad es muy útil, puesto que nos permite trabajar con la derivada de una función, sin necesidad de derivar dicha función.

¿Y dónde puede resultar especialmente útil esto?

Pues donde aparezcan funciones y sus derivadas.

Exacto, en las ecuaciones diferenciales.

Una ecuación diferencial es una equivalencia entre dos expresiones en las que aparece una función incógnita y sus derivadas.

Pues, si aplicamos la Transformada de Laplace a ambos miembros de la igualdad, tendremos una ecuación de transformadas, de funciones que no están derivadas, de funciones "normalitas".

Y eso facilita mucho conseguir el valor de dicha función incógnita.

Está claro que luego la cosa no es tan fácil, porque una vez calculada esa función incógnita, hay que aplicar la transformada inversa si queremos saber qué expresión tiene la solución al problema original.

Puedes ver un ejemplo resuelto aquí: Cálculo de la solución de un PVI mediante Transformadas de Laplace.

Propiedad de Traslación en t

Igual que al multiplicar una función por una exponencial se "traslada" la transformada en la variable s, existe una propiedad de traslación para la variable t.

Para comprendela, se hace necesario entender qué es una función escalón unitario o función escalón de Heaviside.

Básicamente es una función para "encender" y "apagar" otras funciones a partir de un cierto valor en su variable independiente

Pero vamos a mirar bien cómo se define:

Es decir, es una función a trozos, que vale 0 hasta el valor de t = 0 y a partir de ahí vale 1.

Eso así de simple puede parecer una tontería, pero... si multiplicas el escalor unitario por cualquier f(t), la cosa va cobrando sentido:

Ahora, hemos cogido la función t², que está definida para todos los números reales, y la hemos "apagado" hasta el valor t = 0. A partir de ahí, la dejamos "encendida" hasta el infinito.

Y lo mejor, es que podemos hacer ese apagado/encendido para cualquier valor, simplemente habrá que "desplazar" la función restando o sumando un valor a la variable independiente.

Por ejemplo, para apagar la función hasta el valor t = 10, habría que multiplicarla por $u(t-10)$.

Al hacer eso, evaluamos la función de una forma desplazada.

Pues, a cualquier valor de t que le damos, le estamos restando 10 (o la cantidad que sea).

Y, volviendo con la propiedad de traslación en t, esta nos dice que:

$$L\left[ u\left( t-a\right) \cdot f\left( t\right) \right] =e^{-as}\cdot L\left[ f\left( t+a\right) \right]$$

Dicho en palabras: Si tenemos una función "apagada" y la "encendemos" a partir de un valor a, la transformada de esto es igual a la transformada de la función normal (sin estar apagada en ningún sitio) desplazada en a unidades multiplicada por el inverso de la exponencial e^as.

Y esto es equivalente a:

$$L\left[ u\left( t-a\right) \cdot f\left( t-a\right) \right] =e^{-as}\cdot L\left[ f\left( t\right) \right]$$

Bien.

Vamos a ver un ejemplo.

Siendo nuestra f(t) la siguiente:

Y ahora aplicamos la propiedad para calcular la transformada:

Si quieres otro ejemplo para que te quede más claro aún, puedes mirar aquí: ejemplo de transformada usando el escalón unitario.

[recursadora id="2"]