PROVA GRATIS
Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
PROVA GRATIS
Är du ny här? Med Eddler Premium får du:
800+ videolektioner 6000+ övningsfrågor Öva på nationella prov
Allt du behöver för att klara av nationella provet
Din skolas prenumeration har gått ut!
Påminn din lärare om att förnya eller fortsätt plugga med Eddler på egen hand.
KÖP PREMIUM
Så funkar det för:
Elever/Studenter Lärare Föräldrar
Din skolas prenumeration har gått ut!
Förnya er prenumeration. Kontakta oss på: info@eddler.se
Innehåll
- Samband i en rätvinklig triangel
- Kalkylator – Beräkna sidan eller vinkeln i en rätvinklig triangel
- Vad är Trigonometri?
- Sinus, Cosinus och Tangens
- Sinus
- Cosinus
- Tangens
- Sin, cos och tan på räknaren
- Trigonometrins historia
- Exempel i videon
- Kommentarer
I den här lektionen lär du dig att använda sinus, cosinus och tangens. Dessa begrepp är grundläggande för att förstå trigonometri.
Samband i en rätvinklig triangel
Med hjälp av trigonometri kan vi beräkna triangelns okända vinklar och längder. Sambanden mellan vinklar och sidor kan sammanfattas så här.
Kalkylator – Beräkna sidan eller vinkeln i en rätvinklig triangel
I kalkylatorn kan du använda dig av sinus, cosinus och tangens för att beräkna en vinkel eller en sida i en rätvinklig triangel.
Låt alltid ett av fälten vara tomt och de två andra vara ifyllda. Använd endast positiva tal och ingen text. Vinkeln$v$v skall anges i grader och om hypotenusan anges så måste den vara större än närliggande/motstående katet.
Vad är Trigonometri?
Trigonometri är läran om sambanden mellan vinklarna och triangelns sidor.Till en början nöjer vi oss med att studera sambanden i rätvinkliga trianglar för att senare utvidga satserna till att möjliggöra beräkningar i samtliga trianglar.
Sambanden har en mängd olika användningsområden inom naturvetenskapen som exempelvis att kunna mäta avstånd mellan planeter och höjder på berg eller hus. Det har i lantmäteriet använts för att mäta avstånd och förstå hur byggnader och vägar skall konstrueras. När man sedan utvidgar den geometriska trigonometrin till att omfatta även trigonometriska funktioner så ökar användningsområdena ännu mer. Då kan dessa matematiska begrepp även beskriva växelström, ljudvågor eller pendlingar.
Sinus, Cosinus och Tangens
Till att börja med vill vi skapa förståelse av begreppen sinus, cosinus och tangens. De är grundstenar inom trigonometrin. Vi behöver därför definiera dessa begrepp.
I figuren nedan finns en rätvinklig triangel. Sidorna i en rätvinklig triangel har fått bestämda namn utifrån hur de förhåller sig till triangelns vinklar.
Du kanske känner igen namnen från Pythagoras sats, med tillägget att att katetrarna benämns som närliggande och motstående.
Hypotenusan är, som tidigare, den sida på triangeln som befinner sig mitt emot den räta vinkeln. Hypotenusan är alltid triangelns längsta sida.
Den närliggande kateten är, som anas på namnet, den katet som befinner signära vinkeln$v$v.
Den motstående kateten är, som också antyds i namnet, den katet som befinner sig mitt emot vinkeln$v$v.
Utifrån dessa begrepp ska vi nu definiera begreppen sinus, cosinus och tangens.
Sinus
Definition av sinus
Vi kan med hjälp av detta samband bestämma antingen vinkeln$v$v, motstående katet eller hypotenusan utifrån att två av dem är kända.
Exempel 1
Beräkna längden för$x$xi triangeln.
Lösning
Längden$8$8motsvarar hypotenusan och $x$xden motstående kateten till vinkeln $30^{\circ}$30∘. Vi kan då ställa upp ett samband för sinus.
$\sin30^{\circ}=$sin30∘=$\frac{x}{8}$x8 beräkna VL
$0,5=$0,5=$\frac{x}{8}$x8 multiplicera båda leden med$8$8
$x=4$x=4
Den motstående kateten längd är$4$4l.e.
Men hjälp av sinusinversen, som betecknas$\sin^{-1}$sin−1eller$\arcsin$arcsin, kan vi bestämma vinkeln$v$v, om vi känner till längden av motstående katet och hypotenusan, eftersom att
$\sin v=$sinv=$\frac{a}{c}$ac ger att $v=\sin^{-1}$v=sin−1$\left(\frac{a}{c}\right)$(ac)
Exempel 2
Bestäm vinkeln$v$v då$\sin v=$sinv=$\frac{4}{8}$48
Lösning
Vi använder sinusinversen och får att då
$\sin v=$sinv=$\frac{4}{8}$48 ⇒
$v=\sin^{-1}$v=sin−1$\left(\frac{4}{8}\right)$(48) ⇒
$v=30^{\circ}$v=30∘
Cosinus
Definition av cosinus
Men hjälp av cosinusinversen, som betecknas$\cos^{-1}$cos−1eller$\arccos$arccos, kan vi bestämma vinkeln$v$v, om vi känner till längden av närliggande katet och hypotenusan, efter som att
$\cos v=$cosv=$\frac{b}{c}$bc ger att $v=\cos^{-1}$v=cos−1$\left(\frac{b}{c}\right)$(bc)
Nu går vi igenom ett exempel på hur man kan använda cosinus vid beräkningar.
Exempel 3
Bestäm vinkeln $v$ med två decimalers noggrannhet.
Lösning
Längden $5$5cm motsvarar hypotenusan och $3$3cmden närliggande kateten till vinkeln $v$v. Vi kan då ställa upp ett samband för cosinus.
$\cos v=$cosv=$\frac{3}{5}$35 beräkna kvoten i HL
$\cos v=0,6$cosv=0,6
Med hjälp av $\arccos$ eller inversen $\cos^{-1}$, som är samma sak, kan vi nu bestämma vinkeln$v$v.
$\cos^{-1}\left(\cos v\right)=\cos^{-1}\left(0,6\right)$cos−1(cosv)=cos−1(0,6)
$v\approx53,13°$v≈53,13°
Tangens
Definition av tangens
Men hjälp av inversen av tangens, som betecknas$\tan^{-1}$tan−1eller$\arctan$arctan, kan vi bestämma vinkeln$v$v, om vi känner till längden av motstående och närliggandekatet eftersom att
$\tan v=$tanv=$\frac{a}{b}$ab ger att $v=\tan^{-1}$v=tan−1$\left(\frac{a}{b}\right)$(ab)
Exempel 4
Bestäm$\tan u$tanuom$\tan v=$tanv=$\left(\frac{5}{8}\right)$(58)
Lösning
Då tangens definieras som
$\tan v=$tanv=$\frac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}$Motstående katetNärliggande katet vet vi att då
$\tan v=$tanv=$\left(\frac{5}{8}\right)$(58) leder till att$\frac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}=\frac{5}{8}$Motstående katetNärliggande katet=58 för vinkeln$v$v.
Det ger oss att triangeln ser ut som följer.
Detta i sin tur ger att$\tan u=$tanu=$\frac{8}{5}$85, eftersom att närliggande och motstående katet får ”ombytta placeringar” för vinkel$v$v och$u$u.
Sin, cos och tan på räknaren
För att få rätt värde på vinklarna du beräknar behöver du kontrollera att din räknare är inställd på rätt sorts vinklar. I denna kurs vill du att inställningen ska vara på grader, vilket oftast står på engelska på räknaren; degree. I senare kursen kommer vi även att använda oss av radianer som är ett annat mått på vinklar.
Exempel 5
Beräkna$\sin30°+\cos30°-\tan30°$sin30°+cos30°−tan30° och ange med tre decimalers noggrannhet.
Lösning
Vi använder räknare och beräknar de trigonometriska värdena.
$\sin30°+\cos30°-\tan30°\approx$sin30°+cos30°−tan30°≈
$0,5+0,866-0,577=0,789$0,5+0,866−0,577=0,789
Trigonometrins historia
Trigonometrin har funnit med länge i vår matematiska historia. Redan i det forntida Egypten och Babylonien använde man satser om kvoter mellan sidorna i likformiga trianglar. Dessa satser la grunden till vår moderna trigonometri, med undantaget att vinklarna saknades.
Runt$300$300f. Kranvände Euklides ett geometriskt språk för att formulera satser som i princip är samma som cosinussatsen. På$500$500och$600$600-talet gjorde deindiska matematikerna Aryabhata och Bhaskara tabeller och formler med både sinus och cosinus värden för olika vinklar. Följande århundrade var det många olika matematiker runt om i världen som var med och utvecklade trigonometrin till vad den är idag.
Att trigonometrin varit en del av matematiken så länge beror antagligen på att den har haft praktiska användningsområden sedan forntiden. Vem är inte intresserad av att kunna beräkna olika sträckor och vinklar för att kunna navigera sig på de öppna haven och stora vidderna?
Exempel i videon
- Exempel på användningsområden för Trigonometri.
- Beräkna$\sin55°$sin55°
- Beräkna $\sin^{-1}(0,819)$sin−1(0,819).
- Lös ekvationen $\sin x=0,62$sinx=0,62.
- Ta reda på längden $x$ i en rätvinklig triangel där vinkeln är $60°$ och den närliggande kateten är $10$ m.
- Lösa ekvationen $\tan30°=$tan30°=$\frac{x}{120}$x120.
Kommentarer
Aksel Nordin
På fråga 2 och 3 verkar närliggande och motstående katet ha rört ihop sig, eller så har jag gravt missförstått något.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej
Vi bytte alldeles nyss bilder på uppgiften och glömde ändra i svaret, tack för kommentar om detta, vi har nu korrigerat det.
Jonas Johansson
När använder man Tan och när använder man Tan-1 (samma med sin , cos)? vad är skillnaden?
Josephine Aspenrot
Hej! Jag har ställt in min räknare (TI-83) på degrees och den fungerar bra att räkna på sin, arcsin och cos men när jag ska räkna ut arccos blir det bara error. är det någon inställning jag har missat på räknaren?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, kan du ge ett exempel på hur du skriver in en beräkning?
nina
Hej! Tack för videon 🙂 Jag förstår vad cos, sin och tan är, och vad det räknar ut. Jag vet hur man använder miniräknaren för att räkna ut detta, men hur räknar man ut det utan miniräknare? Förstår inte 🙁
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
Ett sätt är att använda sig av enhetscirkeln (kika gärna på den videon) där man genom denna kan få fram några enklare värden. Det finns även tabeller för exakta trigonometriska värden som du kan använda dig av.
hi
Tack för denna mycket väl förklarande video. Blev mycket klokare. Ska snart börja ettan natur och jag börjar grunden här lite, tyckte egentligen trigonometri var svårt men denna video var nyckeln till det tacktack!
Peter
Om jag ska räkna ut motstående katet och jag vet att vinkeln v är 14 grader och att närliggande katet är 150mm; hur räknar jag då?
Simon Rybrand (Moderator)
Då kan du ställa upp sambandet
$ tan(14) = \frac{x}{150} ⇔ $ (räkna ut tangens)
$ 0,249 = \frac{x}{150} ⇔ $ (förläng med 150)
$ 37,35 = x $
nti_ma3
hej simon. har en TI -84 plus. och när jag ska slå sin55* så ser det ut så här sin(55) som = -0.9997etc, så jag undrar hur du fick 0,819 och jag fick 0.999?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, det beror på att du har din räknare inställd på vinkelmåttet radianer och jag har i detta exempel den inställd på grader. På din räknare ändras detta under MODE > Degree > ENTER.
iman
Jag slog tan 90º på min räknare men sen visar err:domain vfr?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tan(90º) är inte definierat och det är därför som räknaren visar detta. För att förstå det behöver man förstå att
$ tan v = \frac{sinv}{cosv} $
och att $ cos(90) = 0 $
Så om du skall beräkna tan(90) så dividerar du alltså med noll vilket inte är definierat.
Linnea
Hej. Hur vet man när man ska använda Sin, Cos och Tan?
Tack på förhand:)
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Linnea, hjälper det här svaret?
Fråga gärna vidare annars!
Daniel
Hej ! Bra förklarat men något ni inte tar upp i den här videon skulle jag vilja ha hjälp med och det är när man ska räkna ut vinklar i en triangel med hjälp av sin? hur funkar det ? hur gör man är det samma princip eller inte? man får reda på katet och hypotenusan, man tar ju och delar de men sen vet jag inte hur jag ska göra alls.. är lite bort tappad skulle gärna va kul om man kunde få lite hjälp!
mvh: Daniel
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, tror det blir enklare att förklara om vi tar ett praktiskt exempel. Låt säga att vi har en hypotenusa som är 5cm och en motstående katet som är 3 cm. Vi kan då ta reda på vinkeln v genom att
$ sin v = \frac{3}{4} $
$ sin v = 0,75 $
För att få reda på vinkeln v behöver vi nu använda oss av arcsin (betecknas också som sin⁻¹) och som finns på de flesta räknare. Detta ger
$ v = arcsin(0,75) = 48,59 $
fatima94
Hej! Jag behöver några exempel inom yrkesliv samt samhällsliv där trigonometri används.
Simon Rybrand (Moderator)
Några vanliga områden där Trigonometri används kan vara:
– Vid programmering av grafik, spelutveckling
– Astronomi, tex mäta avstånd planeter och stjärnor
– Konstruktion av byggnader, vägar osv
Det finns massor av fler användningsområden
Elin
Just det! Glömde fråga om du vet hur man ställer in på grafräknare Texas TI-82 när man räknar ut alla de här sin, cos och tan?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej, på den räknaren kan du ställa in om du vill jobba med vinkelmåttet grader eller radianer. Detta gör du genom att gå till knappen MODE där dessa val finns.
Elin
Hej! Jätte bra grejer det här, här ska jag kolla mer när jag inte förstår min mattelärare eller kör fast hemma. Det jag undrar är vad som menas med sin v = sin 56 grader (kan inte göra gradertecknet), och så undrar jag när man byter ut v i sin v, cos v och tan v till exempel x eller A? Jag tror jag hänger med och tror att det är att x är x-axeln och att A var ett exempel, att A var en av vinklarna i en rätvinklig triangel. Och så undrar jag över arcsin, arccos och arctan om jag säger rätt nu? Vad är det man får ut då?
Tack på förhand! 🙂
Simon Rybrand (Moderator)
Oj, det var många frågor på en gång 😉
Det viktiga är egentligen inte vilken bokstav du använder för att beteckna vinkeln. Vanligt är förstås att man använder v men det går lika bra med x. Så för cos v, cos x eller cos B så gäller att v, x eller B betecknar en vinkel.
När du använder arcsin/arccos/arctan för en vinkel så går du från vinkeln till värdet för förhållandet mellan två vinklar i en rätvinklig triangel. Du kan lite ”svepande” tänka att du går ”baklänges” för t.ex. sinus för en vinkel och får värdet för när du tar motstående katet delat med hypotenusan.
natnael
jag har full koll på Tan, Sin, och Cos. men det jag inte förstår är när jag ska använda de tex så fick jag en fråga på ett prov där jag visste att jag skulle använda en av de, men inte vilken av dem. finns det någon typ tumregel som man kan använda sig av?
tack på förhand/ Natnael
Simon Rybrand (Moderator)
Hej!
Det bästa rådet jag tror att jag kan ge där är att se efter vilka sidor på triangeln som du har kännedom om och vilken sida du söker. Om vi exempelvis känner till de bägge kateterna och söker vinkeln så passar ju tangens bra in på det mönstret. Om vi känner till den motstående kateten, vinkeln och söker hypotenusan så passar sinus.
Jag tror att det är ett bra sätt att utgå ifrån det. Hoppas att det går att förstå!
ABF-Elena
Hej.
Vad är cos då?
Vid tan känner vi till de båda katteterna och söker vinkeln.
Vid sin känner vi till motståendekatet och vinkel. Och vi söker Hypotenusan.
Vid Cos?
Simon Rybrand (Moderator)
Cosinus för en en vinkel är det förhållande som ges mellan den närliggande kateten och hypotenusan. Dvs
$ cos v = \frac{\text{närliggande katet}}{\text{hypotenusa}} $
Emma
Ett tips är att använda sig av den engelska ordramsam vi lärde oss. Den gör det superenkelt att hitta rätt direkt! SOH CAH TOA
SOH= sin, opposite over hypotenuse
CAH= cos, adjacent over hypotenuse
TOA= tan, opposite over adjacent
Adjacent= närliggande och de andra säger sig själva. Så när man ska använda cos tänker man på CAH och där har man vad man ska använda. Det kan vara smart att nämna detta;)
Simon Rybrand (Moderator)
Tack för bra tips Emma!
nordlundkajsa
Hej! Jag förstår liksom hur man gör detta men förstår inte VAD tex sin eller cos ÄR ? om jag beräknar sin55° VAD är det jag får reda på? vad är det för förhållande? får jag reda på hur stor en vinkel är? ett avstånd? något annat? har så svårt att ta det till mig när det känns som en låtsasgrej. alltså att förstå att man ska göra det men anledningen eller vad man får fram är bara blankt för mig.
Simon Rybrand (Moderator)
Hej och tack för din fråga.
Om man uttrycker vad sin, cos och tan är lite mer matematiskt så är det egentligen inte konstigare än det är ett förhållande mellan en vinkel och de olika sidorna i en rätvinklig triangel.
Ofta brukar man ha svårt att veta var det här egentligen kommer ifrån. Från början (alltså längesedan) så gjorde man så att man undersökte vilken vinkel man fick om man exempelvis hade:
Motstående katet: 3cm
Närliggande katet: 5cm
Detta gav vinkeln ≈ 30,96°.
Kvoten blir: $ \frac{ \text{Motstående katet} }{\text{Närliggande katet} } = 0,6 $
Nu har man ett förhållande som alltså kallas för tangens nämligen att
tan30,96 = 0,6
arctan0,6 = 30,96 (baklängestangens eller invers)
Från början hade man alltså tabeller för att kolla av dessa förhållanden, numera finns allt detta digitaliserat i datorer och räknare. Men grundprincipen är alltså densamma. Det är alltså en mängd kända förhållanden mellan sidorna och vinkeln i en triangel som är mycket användbara i alltifrån fysik till programmering.
Hoppas att jag inte rört till det för dig utan hjälpt dig på vägen att förstå!
nordlundkajsa
hej igen, tack för ditt svar! men vad har en sen då informationen 0,6 till? vad får jag reda på genom att veta att kvoten är 0,6? hur kan jag använda det? och 0,6 vad? l.e?
Simon Rybrand (Moderator)
Hej,
När du vet att kvoten mellan motst. katet och närligg. katet är 0,6 samt att vinkeln är 30,96° så har du ditt samband mellan vinkeln och de två sidorna i en triangel. Detta samband lades alltså förr in i tabeller och numera finns det inlagt i räknare.
Med hjälp av sambandet kan du nu i en problemsituation ta reda på saker som man i problemet inte känner till. Exempelvis har vi kanske en triangel där vi känner till de bägge sidorna men inte vinkeln. Då kan man räkna ut kvoten (t.ex. 0,6) och ta hjälp av räknaren (som har sambandet inprogrammerat) för att få reda på vinkeln som i det här fallet blir
arctan(0,6) = 30,96.
Det kan ju också vara så att vi söker en längd istället men har vinkeln och en annan längd. Då kan vi återigen använda oss av de trigonometriska sambanden för att räkna ut sidans längd. tex:
$ tan 40° = \frac{x}{10} \Leftrightarrow$
$ x = 10 \cdot tan 40° = 8,39 $
där alltså x är sidans längd.
Jennie J
Nu blev jag nog allt liiite klokare på det här med Trigonometri och sin grejerna, tycker dock det är lite svårt att veta när jag skall ställa in radianer och när jag skall ställa in grader när man räknar med ekvationer och så i trigonometrin
Simon Rybrand (Moderator)
Hej Jenny och tack för din kommentar till trigonometrigenomgången. Det enklaste är nog att först lära sig grunderna i trigonometri utan att behöva fundera så mycket på om man skall använda enheten radianer eller grader. Börja med grader och när du väl behärskar de grundläggande definitionerna och satserna blir det enklare att särskilja de bägge sätten att beskriva vinklar. Du hittar annars genomgången av radianer här.